Przekształceniem lub transformatą Laplace'a funkcji \( \hskip 0.3pc f:(0,+\infty ) \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcje zmiennej zespolonej \( \hskip 0.3pc F:\mathbb C\to\mathbb C\hskip 0.3pc \) określoną wzorem
\( F(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(t)\,dt. \)
Symbol \( \hskip 0.3pc \mathbb C\hskip 0.3pc \) oznacza zbiór liczb zespolonych, tzn. \( \hskip 0.3pc \mathbb C=\{z\, :\, z = x+iy,\,x,y\in \mathbb R \},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \) oznacza jednostkę urojoną.
Przyjmujemy oznaczenie \( \hskip 0.3pc F= {\cal L}(f).\hskip 0.3pc \) Aby móc zapisać operacje na argumencie funkcji \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) będziemy też stosować zapis \( \hskip 0.3pc {\cal L}(f(t)).\hskip 0.3pc \) Funkcje \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nazywamy oryginałem, a funkcje \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) transformatą funkcji \( \hskip 0.3pc f.\hskip0.3pc \)
Jeśli
\( |f(t)| \leq Me^{\alpha t}\qquad\textrm{dla}\quad t\in [0,+\infty ), \)
gdzie \( \hskip 0.3pc M\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \alpha \hskip 0.3pc \) są ustalonymi stałymi, to transformata Laplace'a istnieje dla dowolnej liczby zespolonej \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \) takiej, że \( \hskip 0.3pc {\rm Re} z>\alpha, \hskip 0.3pc \) czyli dla \( \hskip 0.3pc z=x+iy,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc x,\,y\in \mathbb R,\hskip 0.3pc x> \alpha. \hskip 0.3pc \)
Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc z=x+iy.\hskip 0.3pc \) Wykorzystując nierówność
\( \big|e^{-(x+iy)t}f(t)\big|\leq e^{-xt}e^{\alpha t}M= e^{-(x-\alpha )t}M, \)
nietrudno sprawdzić, że dla \( \hskip 0.3pc x> \alpha \hskip 0.3pc \)
\( \big|\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(t)\big|\leq\displaystyle\int_0^{+\infty}|e^{-zt}f(t)|dt\leq M\displaystyle\int _0^{+\infty}e^{-(x-\alpha )t}dt= \dfrac M{x-\alpha }, \)
co oznacza, że całka po prawej stronie wzoru ( 1 ) jest zbieżna.
Przypuśćmy, że
\( \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}|f(t)|dt <+\infty. \)
Wówczas transformata Laplace'a \( \hskip 0.3pc {\cal L}(f)\hskip 0.3pc \) istnieje w zbiorze \( \hskip 0.3pc \{z\in \mathbb C: \textrm{Re}z >\alpha \}\hskip 0.3pc \)
Istotnie, załóżmy, że Re \( \hskip 0.1pc z=x >\alpha. \hskip 0.3pc \) Wówczas
\( \big|\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(t)dt\big|\leq \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}|f(t)|dt\leq \displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}|f(t)|dt<+\infty. \)
Przypuśćmy, że transformata \( \hskip 0.3pc F={\cal L}(f)\hskip 0.3pc \) jest dobrze określona w pewnym zbiorze \( \hskip 0.3pc \{z\in \mathbb C\,:\,Re\,z >\alpha\} \hskip 0.3pc \). Wówczas
\( \displaystyle\lim_{\textrm{Re}\,z\to \infty}F(z)=0. \)
Istotnie, teza wynika natychmiast z nierówności
\( |F(z)|= \big|\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(x+iy)t}f(t)dt\big| \leq \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x t}|f(t)|dt, \)
bowiem przy \( \hskip 0.3pc x\to \infty\hskip 0.3pc \) całka po prawej stronie dąży do zera (wynika to z twierdzenia Lebesque'a o zbieżności ograniczonej).
Połóżmy
\( \alpha_0 = \inf\bigg\{\textrm{Re}\,z: \displaystyle\int_0^{+\infty} |e^{-zt}f(t)|dt\hskip 0.3pc\,\textrm{jest zbieżna}\bigg\}. \)
Wówczas dla \( \hskip 0.3pc x>\alpha _0\hskip 0.3pc \) ( \( \hskip 0.3pc x=\hskip 0.3pc \) Re \( \,z\hskip 0.3pc \)) całka
\( \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}|f(t)|dt \)
jest zbieżna, a dla \( \hskip 0.3pc x<\alpha _0\hskip 0.3pc \) rozbieżna.
Oznacza to, że transformata Laplace'a z funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest określona w zbiorze \( \hskip 0.3pc \{z\in \mathbb C:{\rm Re}\,z>\alpha _0\}.\hskip 0.3pc \)
W poniższych przykładach 1 i 3 transformatę Laplace'a rozpatrujemy w zbiorze \( \hskip 0.3pc \{z\in\mathbb C: \textrm{Re}\,z>0\},\hskip 0.3pc \) a w przykładzie 2 w zbiorze \( \hskip 0.3pc \{z\in\mathbb C: \textrm{Re}\,z>\alpha\}.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc f(t)=1\hskip 0.3pc \). Wówczas
\( {\cal L}(1)(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}dt =-\dfrac 1ze^{-zt}\Big|_0^{+\infty}= \dfrac 1z. \)
Niech \( \hskip 0.3pc f(t)=e^{ct}\hskip 0.3pc \) ( \( \hskip 0.3pc c\in \mathbb R\hskip 0.3pc \)). Wówczas dla \( \hskip 0.3pc z\in \mathbb C,\hskip 0.3pc \) Re \( z>c,\hskip 0.3pc \) mamy
\( {\cal L}(e^{ct})(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}e^{ct}dt = \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(z-c)t}dt = \dfrac 1{z-c}. \)
W szczególności
\( {\cal L}(e^{t})(z)= \dfrac 1{z-1},\qquad {\cal L}(e^{-t})(z)= \dfrac 1{z+1}. \)
Znaleźć transformatę Laplace'a z funkcji \( \hskip 0.3pc f(t)=t^n,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc n\geq 1.\hskip 0.3pc \)
Dla \( \hskip 0.3pc n=1\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( {\cal L}(t)(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}t\,dt = \Big(-\dfrac 1ze^{-zt}t\Big)\Big|_0^{+\infty}+\dfrac 1z \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}dt= \dfrac 1{z^2}. \)
Wykorzystując zasadę indukcji nietrudno pokazać, że
\( {\cal L}(t^n)(z)= \dfrac {n!}{z^{n+1}}. \)
Znaleźć transformatę Laplace'a z funkcji \( \hskip 0.3pc f(t)=\sin t.\hskip 0.3pc \)
\( \begin{aligned}{\cal L}(\sin t)(z)=& \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}\sin t\,dt=-e^{-zt}\cos t\Big|_0^{+\infty}-z \displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-zt}\cos t\,dt=\\=& 1-z\Big(e^{-zt}\sin t\Big|_0^{+\infty} +z\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}\sin t\,dt\Big)=1 -z^2 {\cal L}(\sin t)(z).\end{aligned} \)
Stąd
\( {\cal L}(\sin\,t)(z)=\dfrac 1 {1+z^2}. \)
Podobnie możemy pokazać, że
\( {\cal L}(\cos\,t)(z)=\dfrac z {1+z^2}. \)
Znaleźć transformatę Laplace'a z funkcji
\( {\rm sinh}\, t=\dfrac {e^t-e^{-t}}2\quad \textrm {oraz}\quad {\rm cosh}\, t=\dfrac {e^t+e^{-t}}2. \)
Korzystając z liniowości transformaty \( \hskip 0.3pc \cal L\hskip 0.3pc \) oraz przykładu 2 mamy:
\( {\cal L}({\rm sinh}\,t)(z)= \dfrac 12 \Big(\dfrac 1{z-1} - \dfrac 1{z+1}\Big)=\dfrac 1{z^2-1},\quad{\cal L} ({\rm cosh}\,t)(z)= \dfrac 12 \Big(\dfrac 1{z-1} + \dfrac 1{z+1}\Big)=\dfrac z{z^2-1}. \)
